ネジを枠に打ちたくないのですが、プリーツ網戸は両面テープなどで固定できますか？

両面テープでの固定は可能です

プリーツ網戸は取り付け面が壁紙でなければ強接着タイプの両面テープで固定できます。
ただし、頻繁に動かす本体側、戸当たり側は網戸本体が外れやすくなる場合があります。落下には十分ご注意ください。